Ejercicios y problemas de números enteros

Ejercicios y problemas de números enteros

1Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores
 absolutos de los siguientes números enteros:

8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7

2Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes
números enteros:

−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

3Sacar factor común en las expresiones:

1 3 · 2 + 3 · (−5) =

2(−2) · 12 + (−2) · (−6) =

38 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

4(−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

3 9 : [6 : (− 2)] =

4 [(−2)⁵ − (−3)³]² =

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =

6 [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

5Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =

2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=

3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

6Calcula, si existe:

1 

2 

3

4 

5

6

7Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:

1 (−2)² · (−2)³ · (−2)⁴ =

2 (−8) · (−2)² · (−2)⁰ (−2) =

3 (−2)⁻² · (−2)³ · (−2)⁴ =

4 2⁻² · 2⁻³ · 2⁴ =

5 2² : 2³ =

6 2⁻² : 2³ =

7 2² : 2⁻³ =

8 2⁻² : 2⁻³ =

9 [(−2)^{− 2}] ³ · (−2)³ · (−2)⁴ =

10 [(−2)⁶ : (−2)³ ]³ · (−2) · (−2)⁻⁴ =

8Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:

1(−3)¹ · (−3)³ · (−3)⁴ =

2 (−27) · (−3) · (−3)² · (−3)⁰=

3 (−3)² · (−3)³ · (−3)⁻⁴ =

4 3⁻² · 3⁻⁴ · 3⁴ =

5 5² : 5³ =

6 5⁻² : 5³ =

7 5² : 5 ⁻³ =

8 5⁻² : 5⁻³ =

9 (−3)¹ · [(−3)³]² · (−3)⁻⁴ =

10 [(−3)⁶ : (−3)³] ³ · (−3)⁰ · (−3)⁻⁴ =

1

Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores
absolutos de los siguientes números:

8, −6, −5, 3, − 2, 4, −4, 0, 7

− 6 < − 5 < − 4 < − 2 < 0 < 3 < 4 < 7 < 8

op(−6) = −(−6) = 6                             |−6| = 6

op(−5) = −(−5) = 5                             |−5| = 5

op(−4) = −(−4) = 4                             |−4| = 4

op(−2) = −(−2) = 2                             |−2| = 2

op(0) = 0                                      |0| = 0

op(3) = −3                                     |3| = 3

op(4) = −4                                     |4| = 4

op(7) = −7                                     |7| = 7

op(8) = −8                                     |8| = 8

2

Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes
números enteros:

−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

op(−4) = −(−4) = 4                          |−4| = 4

op(6) = −6                                      |6| = 6

op(−2) = −(−2) = 2                          |−2| = 2

op(1) = − 1                                      |1| = 1

op(− 5) = −(−5) = 5                         |−5| = 5

op(0) = 0                                       |0| = 0

op(9) = −9                                     |9| = 9

3

Sacar factor común en las expresiones:

1. 3 · 2 + 3 · (−5) =

= 3 · [2 + (−5)] = 3 · (2 − 5) = 3 · (−3) = −9

2. (−2) · 12 + (−2) · (−6) =

= (−2) · [12 + (−6)] = (−2) · (12 − 6) = (−2) · 6 = −12

3.8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

= 8 · 6 = 48

4.(−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

= (−3) · [(−2) + (−5)] = (−3) · (−2 − 5) = (− 3) · (−7) = 21

4

Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] = −5 + (5 + 2) = −5 + 7= 2

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

= 5 − [6 − 2 − (−7) − 3 + 6] + 5 =

= 5 − [6 − 2 + 7 − 3 + 6] + 5 =

= 5 − 14 + 5 = −4

3 9 : [6 : (−2)] = 9 : (−3) = −3

4 [(−2)⁵ − (−3)³]² =

= [− 32 − (−27)] = (−32 + 27)² =

= (−5)² = 25

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =

= (5 + 6 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =

= (5 + 1 − 4 ) · (2 − 3 + 6) : (7 − 4 − 2)² =

= 2 · 5 : 1² =

= 2 · 5 : 1 = 10 : 1 = 10

6 [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

= [(2)³ + (−5)²] : [(−1) · (−11)] =

= (8 + 25) : [(−1) · (−11)] =

= (8 + 25) : 11 =

= 33: 11 = 3

5

Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) = 9 − (−3) = 9 + 3 =12

2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =

= 1 − (4) − [5 − (4) − 2] =

= 1 − (4) − (5 − 4 − 2)=

= 1 − (4) − (−1) =

= 1 − 4 + 1 = −2

3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

= −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

− 12 · 3 + 18 : (−2 + 8) =

= −12 · 3 + 18 : 6 =

= −36 + 3 = −33

4 2 · [( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] − 6 =

= 2 · [24 : 6 +3 : (−3)] − 6 =

= 2 · [ 4 + (−1)] − 6 =

2 · 3 − 6 = 6 − 6 = 0

5 [(−2)⁵ · (−3)²] : (−2)² =

(−32 · 9) : 4 = −288 : 4 = −72

66 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =

= 6 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =

6 + [4 − (17 − 16) + 3] − 5 =

= 6 + (4 − 1 + 3) − 5 =

6 + 6 − 5 = 7

6

Calcula, si existe:

1

2 

3

4

5

6

7

Realizar las siguientes operaciones con potencias:

1 (−2)² · (−2)³ · (−2)⁴ = (−2)⁹ = −512

2 (−8) · (−2)² · (−2)⁰ (−2) =

= (−2)³ · (−2)² · (−2)⁰ · (−2) = (−2)⁶ = 64

3 (−2)⁻² · (−2)³ · (−2)⁴ = (−2)⁵ = −32

4 2⁻² · 2⁻³ · 2⁴ = 2⁻¹ = 1/2

5 2² : 2³ = 2⁻¹ = 1/2

6 2⁻² : 2³ = 2⁻⁵ = (1/2)⁵ = 1/32

7 2² : 2⁻³ = 2⁵ = 32

8 2⁻² : 2⁻³ = 2

9 [( −2 )^{− 2}] ³ · (−2)³ · (−2)⁴ =

= (−2)⁻⁶ · (−2)³ · (−2)⁴ = −2

10 [(−2) ⁶ : (−2)³] ³ · (−2) · (−2)⁻⁴ =

[(−2)³] ³ · (−2) · (−2)⁻⁴ =

= (−2)⁹ · (−2) · (−2)⁻⁴ = (−2)⁶ = 64

8

Realizar las siguientes operaciones con potencias:

1 (−3)¹ · (−3)³ · (−3)⁴ = (−3)⁸ = 6561

2 (−27) · (−3) · (−3)² · (−3)⁰=

(−3)³ · (−3) · (−3)² · (−3)⁰ = (−3)⁶ = 729

3 (−3)² · (−3)³ · (−3)⁻⁴ = −3

4 3⁻² · 3⁻⁴ · 3⁴ = 3⁻² = (1/3)² = 1/9

5 5² : 5³ = 5⁻¹ = 1/5

6 5⁻² : 5³ = 5⁻⁵ = (1/5)⁵ = 1/3125

7 5² : 5⁻³ = 5⁵ = 3125

8 5⁻² : 5⁻³ = 5

9 (−3)¹ · [(−3)³]² · (−3)⁻⁴ =

(−3)¹ · (−3)⁶· (−3)⁻⁴ = (−3)³ = −27

10 [(−3)⁶ : (−3)³]³ · (−3)⁰ · (−3)⁻⁴ =

[(−3)³]³ · (−3)⁰· (−3)⁻⁴ =

(−3)⁹ · (−3)⁰ · (−3)⁻⁴ = (−3)⁵ = −243

Números enteros - Números enteros - Resumen

Los números enteros son del tipo:

 = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

Criterios para conocer el orden de los números enteros.

1. Todo número negativo es menor que cero.

2. Todo número positivo es mayor que cero.

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

2. Si los comandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Propiedades

1. Interna:

a + b  

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

Diferencia de números enteros

La resta de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

Propiedades

1. Interna:

a − b  

2. No es Conmutativa:

Mutiplicación de números enteros

El producto de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

Propiedades

1. Interna:

a · b  

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

a · b + a · c = a · (b + c)

Cociente de números enteros

El cociente de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Propiedades

1. No es una operación interna

2. No es Conmutativo:

Potencias con exponente natural

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

 ·

Propiedades

1. a⁰ = 1 ·

2. a¹ = a

3. Producto de potencias con la misma base:

a^m · a ⁿ = a^m+n

4. División de potencias con la misma base:

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

5. Potencia de una potencia:

(a^m)ⁿ=a^{m · n}

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

Potencias de exponente entero negativo

La operación de raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.

Raíz cuadrada entera

La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.

Operaciones combinadas

Prioridades

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.